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第五节可降解的高阶微分
三种容易降阶的高阶微分方程求解方法
微分方程（1）
的右端仅含有自变量x.容易看出，只要把作为新的未知函数，那么(1)式两边积分就可得到一个n-1阶微分方程
同理可得n-2阶方程
接连积分n次便可得到(1)的含有n个任意常数的通解。
方程（2）
的右端不显含未知函数y，设y’=p，那么
(2)式变成了
设其通解为
又得到一个一阶微分方程
对其积分，便得到(2)的通解为
方程（3）
中不明显含自变量x。令y’=p，利用复合函数求导法则把y化为对y的导数，即
方程(3)变成了
这是一个关于变量y,p的一阶微分方程，设其通解为
分离变量并积分便得到(3)的通解
例题：
解
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解
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第六节高阶线性微分方程
定理1对于二阶齐次线性方程（1）
如果函数y1(x)和y2(x)是(1)的两个解，那么
也是(1)的解，其中C1，C2是任意常数.
定理2如果y1(x)和y2(x)是(1)的两个线性无关的特解，那么
是(1)的通解.
推论如果y1(x)，y2(x)，...，yn(x)是n阶齐次线性方程
的n个线性无关的解，那么此方程的通解是
其中C1，C2，...，Cn为任意常数.
定理3对于二阶非齐次线性方程（2）
设y*(x)是其一个特解.Y(x)是与(2)对应的齐次方程(1)的通解，则
是二阶非齐次线性方程(2)的通解.
定理4设(2)的右端f(x)是两个函数之和，即
与
的特解，则
为原方程的特解，也称为叠加原理
常数变易法
若已知(1)的通解是
那么可用常数变易法求解(2)的通解为
其中
例题：
解
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钱绍熙
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